Qu'est-ce que théorème de hilbert-speiser ?

Le théorème de Hilbert-Speiser est un résultat important en théorie des nombres algébriques. Il a été démontré par les mathématiciens allemands David Hilbert et Ernst Speiser dans les années 1930.

Le théorème de Hilbert-Speiser concerne les extensions abéliennes des corps de nombres algébriques. Il stipule que si K est un corps de nombres algébriques de caractéristique zéro et si K(ζ) est une extension abélienne de K, où ζ est une racine de l'unité, alors il existe un corps de nombres algébriques F tel que K(ζ) soit une sous-extension de F(ζ'), où ζ' est une autre racine de l'unité.

En d'autres termes, cela signifie que toute extension abélienne peut être réalisée comme une sous-extension d'une extension abélienne de K, où cette dernière extension admet une autre racine de l'unité.

Ce théorème est important car il permet d'étudier les extensions abéliennes de manière plus systématique et de relier différentes extensions entre elles. Il a également des applications dans d'autres domaines des mathématiques, tels que la géométrie arithmétique et la théorie des corps de classes.

Cependant, il convient de noter que le théorème de Hilbert-Speiser n'est pas valable dans tous les cas. Par exemple, si la caractéristique du corps de base K est différente de zéro, alors le théorème ne s'applique pas. De plus, dans le cas des extensions non abéliennes, le théorème n'est plus vrai.